（好意思国爱灵敦理读书院）色狼集中营

引 言

在中国及寰球古代数学史中，《洛书》是中华英才在东说念主类文化史中最早的数学创作。对于《洛书》的首先过甚在中外数学范畴中的传播和发展，读者可参阅英东说念主李约瑟的《中国科学手艺史》［1］，及国东说念主黎胜利的《易数浅说》[2]。中国先民创造《洛书》已有五千年历史，但直到刻下，《洛书》辞寰球东说念主人心目中仍蒙有一层秘要色调，中外数学家仍名之谓“幻方”；很少学者用当代数学不雅点，去酌量并阐发注解《洛书》的数学内涵。因此，“洛书的实验是什么？”换句话说，“洛书在当代数学内的地位是什么？”就成为一个有要紧真谛真谛而需要搞定的数知识题。

作家为解答这个问题，乃于1980年在好意思国诞生爱灵敦理读书院，拟定几个关连《洛书》的基本命题，从事酌量《洛书》的数学内涵，以求判定《洛书》的实验和功能。六年以来，作家笔据酌量后果，创立“洛书矩阵”学说，并于1986年四月，朝上海及北京数学会讲述这一学说[3，4]，并提倡两点建议：（一）文告《洛书》为东说念主类文化史中第一个矩阵，（二）以《洛书》看成中华英才原始文化的标帜。

本文是第一次向中国科学界先容焦氏“洛书矩阵”学说，敬请赐教和月旦。

简介《洛书》过甚问题

中华英才原始文化发祥于黄河摆布洛水地区，史称“河洛文化”。河洛文化的基本内涵是天然数，它的具体表征便是《河图》和《洛书》（图一）。《河图》是由一到十的十个天然数的环形成列图，代表中国先民对数的性质和运算的初步意识，它示出加法和减法的运算，奇数和偶数的区别，及数目的十进位扩张，这代表那时文化的竖立。到了《洛书》时间，中国先民对数的结构和变化达到更高的意识和竖立。《洛书》只用九个天然数成列成一个正方形，组成每行、每列及两对角线上三个数的和王人是十五。《洛书》是《河图》的精简和升华，由《河图》到《洛书》标识着中国古代数学文化的飞跃和闇练。

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《洛书》的奇妙结构和演算变化建立了它特有的数学形象和模式，并为中外数学家首创了位置泄露、数字几何及组合分析的先河。中国古代数学家将《洛书》发展为九宫算及纵横图，西方古代数学家发展《洛书》为幻方（图二）。千余年来，以《洛书》三阶幻方为基础，幻方的发展越来阶数越高，幻方的结构亦越来越幻。当代数学文件内，仍在酌量幻方酿成的表面和要领[5，6] 。

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《洛书》存在的基本问题是怎样与当代数学挂钩。中传说统数学家天然一致接纳《洛书》的数学模式，但却从未奠定《洛书》的数学运算功令和哄骗。到了当代，中外数学家更一致承认《洛书》为幻方，默许它的存在零落数学的推理基础。要是咱们不成用当代数学表面阐发注解《洛书》的数学内涵，并建立它在当代数学范畴中的地位，则《洛书》将永被视作寰球或游戏数学，固执在幻方的框框内，步入中国古代传统数学的气运，成为数学史中的思绪，不成与当代数学共生活而逾越了。

关连《洛书》基本命题

《洛书》界说之酌量

酌量《洛书》的首要职责为给《洛书》下一个数学界说。从汉代开动，中国粹者径称《洛书》九数为“二九四、七五三、六一八”，并阐发注解《洛书》九宫谓：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，载九履一，五居中央”（图二）。《洛书》传入西方后，被名为魔方阵或幻方，并界说幻方谓：哄骗1至n2个天然数，排成一个n×n的正方形，使得每行的和，每列的和，及两对角的和王人终点（图二）。昭彰地，这些传统描写王人未能建立《洛书》的当代数学界说、运算功令反哄骗功能。作家笔据数学推理，主义将《洛书》幻方的框框撤退，建立“《洛书》矩阵”的数学界说，则洛书的一切性质和运算功令均可统属到矩阵代数的范畴内。

《洛书》分类之酌量

《洛书》的基本特点有三：（一）它所以由一到九的九个天然数作组成元的；（二）它是由三行、三列及两对角线的八个三元数所组成的方阵；（三）它的组成特点或幻性是每个三元数的三元和王人为十五。昭彰地，《洛书》的特点是由于其组成元的畸形成列及组合所致。笔据成列组合旨趣，将九个不同数成列到九个不同位置，所能生成的不同边幅可高达9！=9×8×…×2×1=362，880个，怎样由如斯强大的可能组合中定出《洛书》幻方，利己一值得计议的问题。搞定此问题的环节爽朗《洛书》分类的酌量。作家将《洛书》的可能成列看成一个集，再按照对称操作所酿成的群，定出依照幻性高下《洛书》可永诀为四类：（一）《洛书》实质：即《洛书》的原创边幅，幻性最高，共有8式。（二）《洛书》变体：系由《洛书》实质移置而成，将实质内的中心五分别置换为一到九的其他八个数，则得出两对角线不一定具有幻性的变体《洛书》，共有64式。（三）天然《洛书》：系由九个天然数按照天然法例成列组成，为《洛书》的基本边幅，共有72式。（四）杂体《洛书》：此为不礼貌成列及幻性最低的《洛书》。

《洛书》酿成之酌量色狼集中营

中国先民怎样创造《洛书》，因无历史纪录，自属一秘要问题。作家本诸数知识题必可用数学要领搞定的原则，计议《洛书》的酿成乃数学操作的势必限度。天然界事物的产生是由概率决定的，作家设念念《洛书》的酿成是由九个基本天然数的成列和组合的概率所致。作家创造了《洛书》酿成的概率表和概率弧线图，示出《洛书》实质的酿成乃是最好像率的限度。

《洛书》场所之酌量

《洛书》看成一个数学实体或模子，必有其物理真谛真谛反哄骗。作家界说洛书为矩阵，它就成为建立线性系统的一个基础，但这超出本文所能酌量的规模。作家现只提倡一个基本问题：中国先民创作《洛书》的原始场所是什么？换句话说：《洛书》的几何真谛真谛是什么？作家的恢复是：《洛书》便是哄骗由一到九的天然数，看成对天地空间几何结构由0到360度的数学阐发注解。当将《洛书》看成三阶矩阵时，其中三个三元数就表三个三维向量，《洛书》就张成一个向量空间，而《洛书》的行列式值便是所成几何形骸的体积。作家笔据这些矩阵的基本定理，奠定了《洛书》矩阵学说的基本真谛真谛：三维向量空间由0到360度的几何结构变化，便是《洛书》由天然洛书到《洛书》实质的结构变化。这便是《洛书》的内涵，这便是《洛书》的秘要。《洛书》对东说念主类文化的最大孝敬，_便是它只用九个基本天然数的代数运算要领，示出空间几何结构由0到360度的变化。直到本日，当代数学尚未能达到此一竖立！

《洛书》升沉机构进程之酌量

作家将《洛书》的多样可能成列看成一个数学中的集，再笔据群论中的对称操作，定出哄骗《洛书》的不同边幅升沉，示出空间几何结构由0到360度的升沉机构进程。吾东说念主由这种升沉机构进程，不错交融出《洛书》内涵中的数学、科学与形而上学真谛真谛。

焦氏“洛书矩阵”学说

焦氏“洛书界说”：《洛书》的广意界说是：“洛书是用由一到九的天然数作元所组成的三阶矩阵”。只需将《洛书》的幻阵势与当代数学的矩阵式等同挂钩，就可奠定《洛书》为东说念主类文化史中第一个矩阵。

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焦氏“洛书分类”：按照《洛书》内组成元的成列组合特点，《洛书》可永诀为四类：

1. 《洛书》实质：《洛书》中每行、每列及两对角线的三元和王人必须终点。按照矩阵过甚转置式的垂直和水平对称，《洛书》实质共有8式（图四）。

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2. 《洛书》变体：《洛书》中每行及每列的三元和王人必须终点。《洛书》变体系由《洛书》实质的中心五分别移置为其他八数而得，共有64式（图五）。

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3. 天然《洛书》：系由九个天然数按照天然法例成列组成，为《洛书》的基本边幅，共有72式。

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4. 杂体洛书：此为下余不礼貌成列及幻性最低的洛书。

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为7+8+9=24，平均值利己（6+24）-2=15，再者，每个三元数王人有六个不同组合，举例123，132，213，231，312，321是笔据这种成列组合旨趣，作家创立了《洛书》实质的酿成概率表（第一表），示出《洛书》实质的生成，乃是最好像率的势必限度。读者用三元和为横轴，用组合数为纵轴，即可谱出《洛书》实质生成的概率弧线图。

焦氏“洛书场所”学说：为了阐发注解《洛书》的场所或其物理与几何真谛真谛，作家建立了“洛书矩阵”学说。中国先民为何要创造《洛书》？作家的恢复是：《洛书》便是哄骗由一到九的天然数的组合变化，看成对天地空间结构由0到360度的数学阐发注解。笔据矩阵代数的基人性质，不错归纳出《洛书》矩阵的三个基本定理：（一）《洛书》矩阵的行列式值等于矩阵中三个组成向量所组成的几何形骸的体积。（二）天然《洛书》的行列式值为0。（三）《洛书》实质的行列式值为360。作家笔据这三个定理，奠定了“洛书矩阵”学说得中心真谛真谛：三维向量空间由0到360度的几何结构变化，便是《洛书》矩阵由天然《洛书》到《洛书》实质的组合结构变化。这便是《洛书》的秘要，这便是《洛书》的数学内涵。

焦氏“洛书升沉机构进程”：哄骗群论中的对称操作旨趣，作家定出《洛书》矩阵组合升沉的机构进程，示出其行列式值[D]由0到360的升沉。对称升沉要领多端，现只示出两个圭表：

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结 语

在当代数学中，《洛书》被中外数学家看成“幻方”来酌量和处理，不单《洛书》的数学内涵被固执于幻方的框框内，不得翻身；而《洛书》亦被视作寰球或游戏数学，不成建立它应有地位。作家笔据《洛书》的结构和数学推理，主义将“洛书幻方”的框框撤退，建立“洛书矩阵”学说，并奠定了《洛书》的数学界说、分类、酿成、场所和升沉五项基本酌量后果。“洛书矩阵”学说的中心真谛真谛是：三维向量空间由0到360度的几何结构变化，便是“洛书矩阵”由天然《洛书》到《洛书》实质的组合结构变化。“洛书矩阵”学说的建立，使《洛书》成为天然界中线性系统的建立基础，进展出关连原因与限度、作用与反馈，及输入与输出的基本功能。

参考文件

[1]李约瑟：《中国科学手艺史》，汉文译本，第19章，卷3，p. 123 ~ 137。

[2]黎胜利：《易数浅说》，台北成文出书公司，1982，第6版，p. 207 ~ 249。

[3]戴小桦：《六年攻洛书后果报中华》，上海科技报，1986年4月26日。

[4]惠文恺：《古东说念主用“洛书”阐发注解天地空间》，上海新民晚报，1986年4月24日。

[5]丛汲泉：《2m 阶幻方的生成》，数学的实行与意识，1984，1，p. 26 ~ 34。

[6]李忠祥：《用加框法生成幻方》色狼集中营，北京钢铁学院学报，1985增刊1，P. 45 ~ 53。

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